已知f(x)=2^x,设f(x)的反函数为f^-1(x),若关于x的方程f^-1(ax)·f^-1(ax2)=f^-1(16)的解都在区间(0,1)内,求实数a的范围.
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解：“log(2) x”表示“以 2 为底，对 x 的对数函数”, “x^2”表示 x的平方。因为解都在区间 (0,1) 内，即 x 都在 (0,1) 内，故 a＞0，才可保证 log(2)ax 和log(2)ax^2 有意义。由已知，得 f^-1(x) = log(2) x，则 f^-1(ax)·f^-1(ax^2) = [log(2)ax]·[log(2)ax^2]= [log(2)a + log(2)x]·[log(2)a + log(2)x^2]= [log(2)a + log(2)x]·[log(2)a + 2·log(2)x]= f^-1(16)= log(2) 16= 4 ---------------(1)设 log(2)a = A，log(2)x = X , 代入 (1) 式，得 f^-1(ax)·f^-1(ax^2) = (A+X)(A+2X) = 2X^2 + 3AX + A^2 = 4,可得关于 X 的一元二次方程 2X^2 + 3AX + A^2 - 4 = 0 ---------------(2)x 都在 (0,1) 内，则 X＜0，即方程 (2) 中抛物线 Y = 2X^2 + 3AX + A^2 - 4只在 X 负半轴有交点，所以系数 A 需满足下列条件（由于抛物线开口向上）：1、判别式不小于零: (3A)^2 - 4·2(A^2 - 4) = A^2 + 32 ≥ 0 , 恒满足；2、对称轴在负半轴： -3A/(2·2) = -3A/4 ＜0 , 得 A ＞0；3、X = 0 时，Y ＞0： A^2 - 4＞0 ， 得 A ＞2 或 A ＜-2 。所以 A ＞2，即 log(2)a ＞2得 a ＞4。解毕。。
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f^-1(x)=（以2为底）log x